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不銹鋼砝碼稱重問題
點擊次數:1874 更新時間:2012-10-11

 不銹鋼砝碼稱重問題曾經有人出過這樣道題:怎樣用四顆砝碼,用天平把直到40磅為止的各個整數磅數的物體稱出來?

  法數學家巴舍·德·梅齊里亞克(Bachet de Meiziriac)在他的《數學趣題》(1624年)中,提到了這個問題。
  這個問題用二制砝碼是解決不了的,盡管如今的計算機都要使用二制。因為用1磅、2磅、4磅、8磅四塊砝碼zui多只能稱出1+2+4+8=15磅的物體。很自然我們會想到二制不行,那么試試三制看看行不行,1+3+9+27=40磅正好符合我們的要求。雖然zui我們能夠稱出40磅的物體來,但是 13927的各種組合只有13491012132728303136373940磅,其中缺少許多整數磅。不過我們有種巧妙的方法,可以解決這個難題,我們可以把砝碼加在天平上那個稱東西的盤子上,因此,這塊砝碼不是要加在稱出的重量上面,而是要從中減去的數。比如5=9-3-16=9-37=9+1-3等等。為了達到這個目的,這里所用的三制數碼不是通常的012,而是-101。不錯,在用3作為底數時,所用數碼是012,但是2可以寫成3-1,因此可以化成-1這個數字。下面可以看到這么處理的方便之處。為了簡便,我們把-1寫成i,以后只要在三制中碰到2這個數字,我們就把它改寫成1i(即3-1=2)例如,三制中的22102這個數,可以用下面的加法表改寫成10i11i

+

1

i

1

1i

0

i

0

i1

 

22102=

   1i

 

 

     1i

 

 

      1

 

 

         0

 

 

          1i

+

 

  ———————

 

      10i11i

 

為了稱出14磅,先將14化成普通三制112,再改寫成1iii,方法如下:

112=

    110

 

 

     1i

+

 

  ———————

 

   1iii

 

這就是說,我們應該把27這塊砝碼放砝碼盤,而把931三塊砝碼放稱物盤中:27-9-3-1=14
 
再看怎樣稱出35磅來,35=27+6+2=10223=110i,所以應該把279這兩塊砝碼放砝碼盤,而把1磅這塊砝碼放稱物盤中。這樣我們完*了用四塊砝碼稱出40磅以下所有整數磅物體的問題。

該結論可以推廣到稱量過40磅的物體上去,這時,我們要再加塊81磅的砝碼,zui可稱量:1+3+9+27+81=121
   
顯然,如果有n塊三制砝碼,則zui可稱量的物品重量為:
    1+3+3^2+3^3+...+3^(n-1)=(3^n-1)/2

   
不過用這種三制的方法還是過于繁瑣,我還是用老套——遞推方法。先必須有1磅,不然就無法稱量1磅的物品,所以我們得到了*塊砝碼:1磅。現在1磅的物品可以稱量了,再增加磅,2磅怎樣稱量呢?2=1+1,顯然還需要塊1磅的砝碼,但是如果我們要求每塊砝碼都盡量,那么增加塊1磅的砝碼就不符合要求了。因為我們也可以增加塊2磅的砝碼,而能夠直接稱量2磅的物品;還可以嗎?增加塊3磅的,正好滿足要求:1=12=3-13=34=1+3。我們看到:(11);(12);(13);都可以滿足稱量連續整數磅的物品,而其中(13)滿足砝碼盡量的要求。但是也不能任意,因為(14)不能稱量2磅的物品,所以3磅是可選的二塊砝碼中zui的個,如果不要求盡量,那么123都是可選的二塊砝碼。現在能稱量的zui重量是1+3=4磅,于這個數就必須再增加砝碼了,假設增加塊x磅的砝碼,則稱量 5=x-1+3),求出三塊砝碼 x=5+4=9磅,現在能稱量從1到(1+3+9=13磅的所有連續磅數的物品了,稱量 14=x-1+3+9),x=14+13=27磅。這樣我們得到了4塊砝碼組(13927)。
   
那么般情況是怎樣的呢?我們看到,若已經知道前幾塊砝碼重量各是a0a1...ak-1磅,則下塊砝碼的重量 ak 滿足公式:ak = 1+2a0+a1+...+ak-1),但是也可以 ak < 1+2a0+a1+...+ak-1),可是不能于,因為如果有ak > 1+2a0+a1+...+ak-1),那么zui小不可稱量數1+a0+a1+...+ak-1)就無法稱量了。那么如何確定a0a1...ak 呢?現要求尋找能夠稱量從1 N磅的砝碼,
如果a是尋找到的zui塊砝碼,而 N = a + b,而 b是已經確定好的能夠稱量從1 b磅的砝碼重量之和,那么應該滿足:a 1+2b =1+2N-a=2N+1-2a,所以有:a ≤(2N+1/3 。如果用取整符號則有:a = [2N+1/3] 。這樣確定了a之后,對 b 繼續應用如上規則,即可確定全部砝碼。
     
我們來看幾個例子,N=75[2*75+1/3]=5075-50=25[2*25+1/3]=1725-17=8[2*8+1/3]=58-5=3[2*3+1/3]=23-2=1,所以確定出砝碼組是(1251750)。
     
再看,N=67[2*67+1/3]=4567-45=22[2*22+1/3]=1522-15=7[2*7+1/3]=57-5=2[2*2+1/3]=12-1=1,所以砝碼組為(4515511)。
    N=83
[2*83+1/3]=5583-55=28[2*28+1/3]=1928-19=9[2*9+1/3]=69-6=3[2*3+1/3]=23-2=1,所以砝碼組為:(5519621)。
     
我們再看看N=41怎樣確定砝碼組,[2*41+1/3]=2741-27=14[2*14+1]/3]=914-9=5[2*5+1/3]=35-3=22=1+1,所以砝碼組為:(279311)。恰好是在40磅的稱量法中再增加塊1磅的砝碼。

    顯然若 3n-1 < 2N+1 3n 則需要n塊砝碼. 不銹鋼砝碼稱重問題

 

*:    江曉

全統*:http://www.13srd.cn/

鑄鐵砝碼

標定精度高;

鏈碼封閉儲藏,防塵、防腐、防潮效果好;

比實物校驗結構簡單、造低,比掛碼裝置更接近實際;

結構合理,操作方便;

占地面積小,系統安全可靠;

節省人力物力,工作效率高;

自動化程度高,更加方便、快捷、省力。

提升管理效率 降低能源消耗

不銹鋼砝碼

帶磁性:用馬氏體、鐵素體不銹鋼制作而成;不帶磁性:使用奧氏體不銹鋼所制作的。砝碼:主要生產E2級、F1JF-1型無磁不銹鋼砝碼;1C18Ni9Ti奧氏體不銹鋼F1級、F2級 、M1級砝碼;M1級不銹鋼標準增砣、吊環式砝碼及張力夾砝碼等。其綜合技術指標均達到水平,獲家發明。2000年又與本系統合作生產了M1級鑄鐵砝碼。并為各傳感器廠.衡器廠.電子稱生產廠提供配重砝碼和砝碼。

 

標準砝碼等級

E2 等級砝碼:用于檢定傳遞F1 等級及其以下的砝碼。F1 等級砝碼:用于檢定傳遞F2 等級及其以下砝碼,F2 等級砝碼:用于檢定傳遞M1 等級.M12 等級及其以下的砝碼。M1 等級砝碼:用于檢定傳遞M2 等級.M23 等級及其以下的砝碼。M2 等級砝碼:用于檢定傳遞M3 等級砝碼.用于檢定相應的衡量儀器。M3 等級砝碼,用于檢定相應的衡量儀器,和與相應的衡量儀器配套使用。M12 等級和M23 等級砝碼:用于檢定相應的衡量儀器,和與相應的衡量儀器配套使用。

不銹鋼砝碼

 

不銹鋼砝碼

 
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