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因式分解有妙用(砝碼稱重問題)
點擊次數:2375 更新時間:2012-10-18

 因式分解有妙用(砝碼稱重問題)

如果天平兩端都允許放砝碼,并且假定所有的砝碼都是整數克。為了稱出從 1 克到 40 克 所有整數克 的物品,zui少需要幾個砝碼?
感興趣的讀者不妨自己先試著想想,再往下看。
秘密在于 3 的冪

砝碼說起來這個問題歷史還算是挺悠久的。據《數學游戲與欣賞》( [英] 勞斯·鮑爾 [加] 考克斯特 ,楊應辰等 譯),這個問題被稱作巴協(xié) (Bachet) 砝碼問題;而據《數學聊齋》(王樹禾),該問題至少可追溯到 17 世紀法梅齊里亞克 (Meziriac, 1624) 。他們給出的答案是:
zui少需要 4 個砝碼,規(guī)格分別為 1 克、3 克、9 克和 27 克。
例如,為了稱出 2 克的物品,我們只需在天平端放 3 克砝碼,在另端放上 1 克的砝碼;而要稱出 7 克的物品,則可以在端放上 1 克和 9 克的砝碼,另端放上 3 克的砝碼。
類似地,要稱出 1 克到 4 克中所有整數克的物品,只需要 2 個砝碼;要稱出 1 克到 13 克中所有整數克的物品,則只需要 3 個砝碼;要稱出 1 克到 121 克中所有整數克的物品則要 5 個砝碼,它們分別是 1 克、3 克、9 克、27 克和 81 克,如此等等。
也許有人已經心領神會了,但是如果就此滿足而匆匆離去的話,可能就錯失了個領略數學思想的機會——問題到這里并未結束啊!例如,4 個砝碼究竟是不是zui少的?還有沒有其他的組合?對這些疑問的個*的分析和說明,是 19 世紀由麥克馬洪 (MacMahon) 給出的。下面就來領略下其中的思想吧,或許你會從中學到很多。
因式分解的妙用

假設有個重為 a 克的砝碼,那么用它自然能夠稱出 0 克和 a 克的物品。不過,如果虛設天平的某端為正的話,利用此天平和砝碼我們還能稱出 - a 克的物品——不妨規(guī)定把 a 克砝碼放在天平右側,將物品放在天平左側,由此可以稱出 a 克的物品;但若把 a 克砝碼放在天平左側,把物品放在天平右側,由此稱出的物品重量記作 - a。目前這樣種設想有點怪異,但這實際上和人類引入負數的思想是相同的。很快家便會發(fā)現,這種設定非常精妙地簡化了我們的計算和推導。現在暫且把該砝碼能夠稱出的重量 - a,0,a 放個表達式中:

現在,假設有兩個不同規(guī)格的砝碼,分別重 a 克和 b 克(a < b)。按照上面的規(guī)定,我們可以稱出 - a - b ,- b,- a,a - b,0,b - a,a,b,a + b。例如,為了稱出 b - a,只需要把 b 克的砝碼放在右端,物品和 a 克的砝碼放在左端;按照上面的約定,如果天平平衡,物品就是 b - a 克。而要稱出 a - b, 則把 b 克砝碼放在左端,a 克砝碼和物品放在右端,如果平衡則物品是 a - b 克。同樣地,把這些數塞個表達式:

 

可以看到,它不是別的,正好是

的展開式。
另外,假設有 m 個同樣重為 a 克的砝碼,則可以稱出 - ma,- (m - 1)a,…,0,…,(m - 1)a,ma 克的物品。暫且按照上面的辦法,把這些數也塞個表達式中 :

結合上面的分析,容易看出,如果有 m 個 a 克的砝碼,n 個 b 克的砝碼,等等,那么可以稱出物品的克數就是表達式

展開后出現過的那些 x 的冪數,而展開式中 x 的 i 次項系數就表示用給定的這組砝碼稱出 i 克物品的不同方法數。
如果要稱出 1 到 40 中所有的整克數,并且要求所用的砝碼盡可能少,我們自然希望這些砝碼能夠“物盡其用”,稱出的克數正好都是我們需要的克數,并且稱的方法都是*的。也就是說,上述表達式展開后應該恰好是

反過來,就是要把

還原成

的形式。
對這個式子行分解,共有八種不同的方案:

前四個式子展示了我們實際上是如何對原式行逐步分解的。它們的意義依次為:(1) 40 個 1 克的砝碼;(2) 1 個 1 克,13 個 3 克的砝碼 ;(3) 1 個 1 克,1 個 3 克以及 4 個 9 克的砝碼;(4) 1 個 1 克,1 個 3 克,1 個 9 克以及 1 個 27 克的砝碼。其中,四個分解式是zui基本的,它就是我們想要的答案。
當然我們還要說明,除了上面列舉的 8 種組合之外沒有其他的組合。這是個多少有些復雜的討論,不過我們可以就此為止了,因為上面的分解式看起來應該明顯含了所有可能的分解。zui少的那組已經明擺著了,無須再說。家可以到 死理性派小組 參與更詳細的討論。

 

規(guī)格:1kg

等級:E2F1F2M1

材質:無磁不銹鋼 (磁化率小于0.005   密度 7.94-7.96kg/dm3

      不銹鋼 (磁化率小于0.05    密度 7.9kg/dm3

結構:實心整體(調整腔)

形狀:圓柱型

尺寸:直徑48mm,高度82mm

裝:塑盒

M1級鍍鉻: 45#鋼鍍硬鉻(非裝飾鉻)

M1級不銹鋼:不銹鋼2Cr13

F1F2級不銹鋼:不銹鋼無磁,磁化率≤0.05密度:=7.85g/cm3

OIML砝碼公差表:1kg  M1(50mg)   F2(16mg)   F1(5.0mg)

 

咨詢:江曉       314530281  314530281  http://www.13srd.cn/  公司地址:上海1mg-10kg砝碼組合,松江區(qū)九亭街138251  咨詢!實潤專業(yè)為您解決各類砝碼難提

 
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